Насколько возможен снегопад? Какова вероятность выиграть в лотерею? Возможность, шанс, вероятность – эти слова мы произносим ежедневно. Они же являются терминами математической теории вероятности.

Математическая теория вероятности вышла на первый план в XVII веке – в дискуссиях об игре в кости.

Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Т.е. подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов.

Возьмем самый простой пример – подбросим монету. Какова вероятность, что выпадет «орел»? Ответ очевиден – ½. Когда мы говорим, что подбрасываем монету, мы предполагаем, что это симметричная монета, что вероятность выпадения «орла» равна вероятности выпадения «решки». Мы выяснили, что шанс получить «решку» при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.

Зафиксируем формулу для нахождения вероятности:

$ Вероятность= \frac {количество\; подходящих\; вариантов}{количество\; возможных\; вариантов}$

Вероятность может выражаться в процентах:

$ Вероятность \; 100 (\%)= \frac {количество\; подходящих\; вариантов}{количество\; возможных\; вариантов} \cdot 100\% $

Важно: на экзамене вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах.

Пример: в урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

Решение. Что необходимо для нахождения вероятности? Посчитать количество подходящих вариантов и количество возможных вариантов. Всего шаров – 10, подходящих (т.е. черных) – 4, значит:

$ Вероятность \;=\frac {4}{10}=0,4 $

Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет – невозможное событие) до 1 (абсолютно точно произойдет – достоверное событие).

Пример: в урне 12 шаров: 6 белых и 6 черных. Какова вероятность вынуть из урны красный шар?

Решение. Интуитивно понятно, что поскольку в урне нет красных шаров, то и вероятность равна нулю. Давайте посчитаем количество подходящих вариантов и количество возможных вариантов. Всего шаров – 10, подходящих (т.е. красных) – 0, значит:

$ Вероятность \;=\frac {0}{10}=0 $

В рассмотренном примере событие, заключающееся в вынимании красного шара, невозможное.

Зафиксируем еще одну формулу:

Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1

Пример: найдите вероятность того, что при однократном подбрасывании игрального кубика выпадет число, не кратное трем.

Решение. Давайте найдем вероятность противоположного события, что выпадет число, кратное трем. Сколько подходящих событий? Количество подходящих событий (выпадет три, выпадет шесть) – 2, всего событий – 6 (граней на игральном кубике).

$ Вероятность \;(кратно\;3)=\frac {2}{6}=\frac {1}{3} $

Значит, мы можем найти искомую вероятность:

$ Вероятность \;(не \ кратно\;3)=1-\frac {1}{3}=\frac {2}{3} $

Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, но понятно, что на этом всё не заканчивается. Чтобы жизнь была веселее, в задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.

Вероятность нескольких событий:

Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:

1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.

2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем (если события не могут совпасть).

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны P₁=0,7, P₂=0,6. Какова вероятность попадания обоими орудиями одновременно при одном залпе?

Решение. Вероятности каждого из событий в отдельности уже даны, нужно только понять, какой знак поставить. Нам нужно, чтобы произошло первое и второе событие одновременно, значит, умножаем.

P= P₁· P₂ = 0,7· 0,6 = 0,42.

Пример. Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12, 45-го – 0,04, 46-го и большего – 0,01. Какова вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера?

Решение. Снова вероятности каждого из событий нам даны. Что будем делать с ними? Нам подходят события: продана обувь 44-го размера ИЛИ продана обувь 45-го размера ИЛИ продана обувь 46-го и выше размеров. Значит, складываем вероятности каждого из событий:

P = 0,12 + 0,04 + 0,01 = 0,17.

Для понимания практического применения теории вероятности давайте рассмотрим еще вот такой шуточный пример. В местном зоопарке живет мартышка (можно дать ей имя). Допустим, что у нее есть старенькая пишущая машинка с 26 клавишами для букв латинского алфавита, одна – с точкой, одна – с запятой, одна – с вопросительным знаком и один пробел, итого – 30 клавиш. Сидит себе наша мартышка в углу и нажимает клавиши наугад. Любая последовательность букв имеет ненулевую вероятность оказаться напечатанной, а это значит, что есть шанс, что мартышка дословно напечатает пьесы Шекспира. Шансы у нее минимальные, но они точно отличны от нуля. Давайте разберемся, какова вероятность того, что наша мартышка напечатает последовательность из 8 символов “To be or” («быть или не»). Что мы должны для этого сделать? Сначала мы должны посчитать вероятность появления каждого символа. Представим 8 ячеек, в которых окажутся 8 символов, включая пробелы:

Что нужно, чтобы посчитать вероятность появления одного символа? Правильно, нужно

узнать, сколько всего возможно символов и сколько подходящих. Сколько возможных вариантов для одной ячейки? Помним, что всего у воображаемой нами печатающей машинки 30 клавиш, а значит, 30 возможных вариантов. Для первой ячейки – 30, для второй ячейки – 30, и т.д. Какова вероятность символа «t» в первой ячейке? Подходящий символ -1, количество возможных символов – 30, значит, вероятность равна 1/30. Какова вероятность символа «o» во второй ячейке? Тоже 1/30. Составим таблицу:

Как посчитать вероятность того, что будут напечатаны именно указанные 8 символов? Какая ситуация нам нужна? Нам необходимо, чтобы произошло И первое, И второе, И третье …. И восьмое события, то есть мы должны перемножить вероятности каждого из событий. Получим:

$ P=\big(\frac{1}{30}\big)^{8}=\frac{1}{6561}\cdot 10^{-8} $

Получили очень малую вероятность. Чтобы понять, насколько она мала, давайте посчитаем, сколько времени придется ждать, чтобы мартышка напечатала указанные символы. Допустим, мартышка бьет по клавише раз в секунду (не прерываясь на сон и другие дела), тогда ожидаемое время составляет чуть более 20 800 лет. Поэтому если вдруг вы затаили дыхание в ожидании Шекспира – выдыхайте, у нее довольно долго будет получаться всякая нечитаемая последовательность типа «xo?h,yt?»