Правила преобразования уравнений

Первым этапом решения уравнения является приведение его к нужному виду с помощью разрешенных преобразований.

1. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Это относится как к числам:

Так и к выражениям, содержащим переменные:

2. Можно умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же ненулевое число или выражение (при умножении на ноль уравнение теряет смысл; а делить на ноль нельзя). Умножение помогает избавиться от знаменателей:

А деление – уменьшить коэффициент в уравнении:

3. Можно раскрывать скобки и упрощать выражения в обеих частях:

Рациональные уравнения

Уравнение называется рациональным, если содержит переменную в целой степени, например, 1, 2, -5. Чаще всего встречаются следующие типы рациональных уравнений:

1. Линейные

2. Квадратные

3. Кубические

4. Уравнения высших степеней

5. Дробно-рациональные

Линейные уравнения

Линейным называется уравнение, содержащее переменную в первой степени. С помощью преобразований его можно привести к виду

‒ некоторые числа.

Для решения достаточно поделить обе части равенства на :

Рассмотрим пример:

1. Приведем выражение к виду . Для этого раскроем скобки и соберем слагаемые, содержащие переменные, с одной стороны равенства, а не содержащие – с другой.

2. Разделим обе части равенства на коэффициент при x.

Ответ: 5

Уравнение будет линейным, даже если в нем присутствуют дроби. Главное, чтобы переменной не было в знаменателе. Рассмотрим еще один пример:

1. Умножим обе части равенства на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, чтобы избавиться от дробей.

2. Приведем выражение к виду .

3. Разделим обе части равенства на коэффициент при x.

Ответ:10,5

Квадратные уравнения

Квадратным называется уравнение, содержащее переменную во второй степени. В общем виде оно выглядит следующим образом:

где – некоторые числа.

Корни уравнения можно определить с помощью дискриминанта по формулам:

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Если же дискриминант меньше нуля, то корней нет.

Рассмотрим пример:

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

2. Определим дискриминант полученного уравнения:

3. С помощью дискриминанта найдем корни по формулам:

Ответ: 2; -3

В некоторых случаях (например, ) корни проще искать по теореме Виета, решая подбором систему уравнений:

Применим эту теорему для нахождения корней уравнения

1. Составим систему:

2. Подберем так, чтобы оба равенства выполнялись. В данном случае подходят числа .

Ответ: 2; 3

Кубические уравнения

Общий вид уравнения третьей степени представлен ниже:

- некоторые числа.

Целые корни такого уравнения (в случае, если коэффициенты тоже целые) находятся среди делителей свободного члена .

У уравнения свободный член . Его делителями являются числа . Для того, чтобы определить, какие из этих чисел являются решениями, подставим их по очереди в исходное уравнение. Если при этом получится верное равенство, то поздравляю, вы нашли корень.

Проверим: . Не является корнем.

Проверим: . Является корнем.

Возможна ситуация, когда ни один из делителей корнем не будет. В таком случае говорят, что исходное уравнение не имеет целых решений.

После того, как будет определено хотя бы одно решение, можно понизить степень уравнения, превратив его в квадратное. Для этого разделим столбиком исходное уравнение на выражение , где – корень.

Алгоритм деления многочлена на многочлен столбиком.

1. Упрощаем выражение и переносим все слагаемые влево.

2. Записываем выражения как для деления в столбик:

3. Определяем выражение, на которое нужно умножить старший коэффициент в делителе, чтобы получить старший коэффициент в делимом. В данном примере это .

4. Умножаем на это выражение делитель и вычитаем его из делимого. «Сносим» следующее слагаемое.

5. Повторяем процедуру до тех пор, пока не получим разность, равную 0.

6. -Проверяем ответ. Произведение частного и делителя должно совпасть с делимым.

Корни квадратного уравнения можно определить с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

Значит, уравнение имеет три решения:

Как действовать в частном случае, когда , рассмотрим в следующем разделе.

Уравнения высших степеней

В таком уравнении переменная может содержаться в любой степени. Рассмотрим пример:

1. Соберем слагаемые, содержащие переменную с одной стороны, а не содержащие – с другой:

2. Упростим уравнение с помощью разрешенных преобразований:

3. Извлечем корень 3 степени из обеих частей равенства. Обратите внимание, что в данном случае не важно, какой знак имеет число, так как степень нечетная.

Ответ: -1

Точно так же можно решить уравнение с любой, даже самой страшной, степенью.

4. Разделим обе части уравнения на 2. Чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы справа стояло неотрицательное число, так как степень переменной четная.

5. Извлечем корень 8 степени из обеих частей равенства. В силу четности степени, уравнение будет иметь два решения:

Ответ: -2, 2

Дробно-рациональные уравнения

Данный тип уравнений отличается тем, что содержит в знаменателе выражение с переменной. Поэтому может возникнуть опасная ситуация – переменная примет такое значение, что знаменатель обратиться в ноль. Чтобы этого не произошло, заранее исключим из рассмотрения нули знаменателя и определим область допустимых значений:

То есть решением данного уравнения может быть любое число кроме 2 и -4.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения рассмотрим на примере:

1. Определим область допустимых значений:

2. Умножим обе части равенства на общий знаменатель всех дробей и сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе там, где это возможно:

3. Упрощаем уравнение с помощью разрешенных преобразований:

4. Определяем тип получившегося уравнения (линейное, квадратное или кубическое) и решаем подходящим методом. В данном случае получилось квадратное уравнение, причем коэффициент при равен 1. Значит, удобно использовать теорему Виета:

Подходит пара чисел -2 и 5.

5. Исключаем те значения корней, которые обращают в ноль знаменатель, то есть не входят в область допустимых значений (ОДЗ).

Ответ: -2

При подстановке корней в уравнение должно получится верное равенство. Это свойство можно использовать для проверки полученных ответов.