3. Алгебра
Читать 0 мин.
3.17. Уравнения с модулем
Определение
Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна −а, если а меньше нуля:
│а│ = 
Из определения следует, что для любого действительного числа а, │а│ ≥ 0.
Геометрически │а│ означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета.
Если а ≠ 0, то на координатной прямой существует две точки а и −а, равноудаленной от нуля, модули которых равны.
Если а = 0, то на координатной прямой │а│изображается точкой 0.
Графиком функции y = │x│ является «уголок».
I) Уравнения вида │f (x) │ = A, A ϵ R решаются следующим образом:
Если A < 0, то корней нет.
Если A = 0, то уравнению │f (x) │ = A соответствует уравнение f (x) = 0.
Если A > 0, то уравнению │f (x) │ = A соответствует равносильная совокупность:
II) Уравнения вида │f (x)│ = g (x) решаются следующим образом:
Способ №1
Уравнению │f (x)│ = g (x) соответствует равносильная совокупность систем:
Способ №2
Уравнению │f (x) │ = g (x) соответствует равносильная совокупность систем:
III) Уравнения вида │f (x) │ = │g (x) │ решаются следующим образом:
Способ №1
Уравнению │f (x) │ = │g (x) │ соответствует равносильное уравнение f2 (x) = g2 (x).
Способ №2
Уравнению │f (x)│ = │g (x) │ соответствует равносильная совокупность:
IV) Уравнения вида │f (x) │ = −f (x) и │f (x) │ = f (x) решаются следующим образом:
Уравнению │f (x) │ = −f (x) соответствует равносильное неравенство f (x) ≤ 0.
Уравнению │f (x) │ = f (x) соответствует равносильное неравенство f (x) ≥ 0.
V) Общая схема решения уравнений содержащих знак модуль.
Например:
│x2 − 1│ + │x2 − 4│ = 3.
Найдем нули выражений, стоящих под знаком модуль.
x = ±1, x = ±2.
И раскроем модуль на каждом из 5 промежутков, на которые оказалась разделена числовая ось числами x = ±1, x = ±2.
I) 
⇔ 
(−∞; −2] — промежуток, значит в ответ попадает только решение x = −2.
II) 
⇔ 
В ответ будет входить весь промежуток.
III) 
⇔ 
Оба решения попадают в рассматриваемый промежуток.
IV) 
⇔ 
В ответ будет входить весь промежуток.
V) 
⇔ 
[2; +∞) — промежуток, т. е. подходит решение x = 2.
Ответ: [−2; −1] 
[1; 2].
