Расстояния

Задача на нахождения расстояния в стереометрической фигуре является главной и самой важной из всех. Прежде всего определимся с тем, что имеется ввиду под словом «расстояние», ведь их может быть бесконечно много.

Расстояние между объектами в геометрии – это кратчайшее из расстояний между ними.

Обозначение:

В стереометрии найти расстояние можно между следующими комбинациями фигур:

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ

Расстояние между точками– это длина отрезка, соединяющего эти точки.

В задачах на стереометрию мы не можем просто воспользоваться линейкой, и длину этого отрезка должны найти аналитически. Поэтому длину отрезка AB между точками A и B находят как сторону треугольника, если отрезок AB удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон.

То есть если в задаче предлагается найти расстояние между точками, нужно задать себе вопрос: «В каком треугольнике этот отрезок является стороной?», затем построить этот треугольник и найти в нем нужную сторону.

Например:

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПРЯМОЙ

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Этот отрезок перпендикуляра можно вычислить, включив его в треугольник (или трапецию) в качестве одной из высот. То есть нужно задать себе вопрос: «В каком треугольнике этот отрезок является высотой?», затем построить этот треугольник и найти в нем высоту.

Например:

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Существует несколько способов нахождения расстояния от точки до плоскости:

• Построение перпендикуляра из точки на плоскость.

• К этому способу обращаются, если расстояние из точки M на плоскость опускать неудобно, а удобно опустить равный ему перпендикуляр из другой точки, лежащей на одной линии с M.
• Построение перпендикуляра из точки прямой к плоскости.

• Построение перпендикуляра из точки плоскости на плоскость.

К этому способу, аналогично, обращаются, если расстояние из точки M на плоскость опускать неудобно, а удобно опустить равный ему перпендикуляр из другой точки, лежащей на одной плоскости с M.

• Через двойное выражение объема.

Расстояние от точки M до плоскости β – это перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, то есть по сути это высота в некоторой пирамиде с вершиной M и плоскостью основания, лежащей на β. Если легко вычислить объем этой пирамиды, используя другое основание и другую высоту, то через этот объем можно найти нужное расстояние.

Например:

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Существует несколько способов нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:

1. Построение взаимного перпендикуляра.

2. Построение параллельной прямой.

К этому способу обращаются, если строить взаимный перпендикуляр неудобно и одна из скрещивающихся прямых уже заключена в удобную плоскость.

К этому способу обращаются, если строить взаимный перпендикуляр неудобно и скрещивающиеся прямые уже заключены в удобные плоскости.

3. Построение параллельной плоскости.