3. Алгебра
Читать 0 мин.
3.16. Отбор корней
Задача 1
а) Решите уравнение: sinx = 0,5.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; 2π].
Решение:
а) sinx = 0,5;
х = 
+ 2πn или x = 5 · 
+ 2πk, n, k 
Z.
Корни уравнения: 
+ 2πn, 5 · 
+ 2πk, k 
Z.
б) Теперь будем искать корни, принадлежащие отрезку [-π; 2π].
Рассмотрим 3 способа отбора корней:
- Способ №1. С помощью двойного неравенства:
−π ≤ 
+ 2πn ≤ 2π;
−1 ≤ 
+ 2n ≤ 2;
≤ 2n ≤ 
≤ n ≤ 
.
Значит, n = 0, x = 
.
−π ≤ 5 · 
+ 2πk ≤ 2π;
−1 ≤ 
+ 2k ≤ 2;
−
≤ 2k ≤ 
;
−
≤ k ≤ 
.
Значит, k = 0, х = 5 · 
.
Этот способ наиболее точный и если учащиеся владеют навыками решения двойного неравенства, то понятный и подходит совершенно всем и в любых случаях.
- Способ №2. С помощью окружности:
a) На окружности найдем края отрезка: точки –π и 2π.
б) Смотрим на точки — из каких серий решения попали в этот отрезок.
в) Выбираем эти точки.
Если данные отрезки бывают длиной больше 2π, тогда можно потерять некоторые корни, поэтому рекомендуется: нарисовать вторую концентрическую окружность, будто соответствующую следующему периоду (это просто модель, которая помогает решить задачу). Этот способ хорошо дается тем, кто умеет определять на окружности точки и отсчитывать периоды.
- Способ №3. С помощью графика:
а) Чертим график у = sinx;
б) Выделяем отрезок —π; 2π;
в) Проводим прямую у = 
;
г) Отмечаем точки с ординатой 
на искомом отрезке, получаем х = 
и 5 · 
.
Способ очень наглядный и подойдет тем, кто не усвоил вышеизложенные два способа.
