Основные тригонометрические формулы

Пример. Найти значение выражения:

Решение. Применяем основное тригонометрическое тождество в виде:

Пример. Найти значение выражения:

Решение. Из основного тригонометрического тождества следует:

Подставим в выражение:

Тригонометрические формулы суммы и разности двух углов

Пример. Вычислить

Решение.

Пример. .

Решение.

Тригонометрические формулы двойного угла

Пример. Найдите 2cos2α, если sinα = - 0,7.

Решение. Используем формулу косинуса двойного угла: cos2α = 1 – 2sin²α.

Получаем: 2cos2α = 2·(1 – 2sin²α) = 2·(1-2·(-0,7)²) = 2·(1-2·0,49) = 0,04.

Пример. Найдите значение выражения

Решение. Применяем формулу sin2α = 2sinα·cosα:

Формулы понижения степени

Пример. Найти значение выражения $ 3sin^{2}4x $, если $ cos8x=0,5 $

Решение. Используем формулу понижения степени:

Применительно к углам 4x и 8x она будет выглядеть так:

Находим значение выражения:

Тригонометрические формулы произведения

Пример. Вычислить sin 20°·sin 40°, считать, что cos20° = 0,9

Решение. Заметим, что

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Формулы приведения

Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения.

Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.

1. В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного из «основных координатных углов»: $ \frac {\pi}{2}, \pi, \frac {3\pi}{2}, 2\pi $ и острого угла $ \alpha $, а в правой части аргумент $ \alpha $

2. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».

Мнемоническое правило

Достаточно задать себе два вопроса:

1. Меняется ли функция на кофункцию?

Ответ: Если в формуле присутствуют углы $ \frac {\pi}{2} $ или $ \frac {3\pi}{2} $ — это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».

2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?

Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.

Например, sin $ ( \frac {3 \pi}{2} + \alpha ) $.

1) «Меняется функция или нет?»

$ \frac {3\pi}{2} $ — угол вертикальной оси, киваем головой по вертикали: «Да, меняется». Значит, в правой части будет cosα.

2) «Знак?»

Угол $ ( \frac {3 \pi}{2} + \alpha ) $ попадает в IV четверть. Синус в IV четверти имеет знак «минус». Значит, в правой части ставим знак «минус».

Итак, получили формулу, sin $ ( \frac {3 \pi}{2} + \alpha ) = –cosα. $

Пример. Найдите значение выражения

Решение. Используем формулу приведения:

Пример. Найдите значение выражения 5tg17⁰ · tg107⁰.

Решение. Используем формулу приведения:

5tg17⁰ · tg107⁰ = 5tg17⁰·tg(90⁰ + 17⁰) = 5tg17⁰·(−ctg17⁰) = −5(tg17⁰·ctg17⁰) = −5·1 = −5.

Тригонометрический круг

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Он заменяет десяток таблиц.

Сколько полезного на этом рисунке!

1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или 2π радиан.

2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси x, а значение синуса — на оси y.

3. И синус, и косинус принимают значения от –1 до 1.

Тригонометрический круг:

1. Значение тангенса угла α тоже легко найти — поделив sinα на cosα. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

2. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

3. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

4. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен 2π.

Графики тригонометрических функций

На рисунках приведены графики тригонометрических функций: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx.

1. График функции y = sinx

2. График функции y = cosx

3. График функции y = tgx

4. График функции y = ctgx