Логарифмом числа по основанию называется такой показатель степени, в которую нужно возвести , чтобы получить (то есть ). При этом задаются ограничения: . Значение логарифма может быть любым.

Вычислите:

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

2. При возведении значит,

Ответ: 3; -3.

Помня об ограничениях, построим по точкам графики логарифмической функция в разных случаях.

Пусть Подставим вместо разные числа и определим соответствующие значения переменной .

Отметим координаты точек на плоскости и соединим их плавной линией.

Легко заметить, что функция все время возрастает. Такое поведение характерно для всех логарифмических функций с основанием больше единицы.

Пусть теперь . Составим таблицу значений для этого случая.

Тогда график функции будет выглядеть следующим образом.

Все логарифмические функции с основанием от 0 до 1 убывают на всей области определения.

Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (1;0).

Особыми знаками принято обозначать логарифмы с основанием десять и логарифмы с натуральным основанием .

Свойства логарифмов

Для упрощения вычислений при работе с логарифмами полезно знать и уметь использовать основные свойства.

Используем рассмотренные свойства для решения некоторых задач.

Пример 2

Вычислите

1. Представим .

2. Вынесем степень из—под знака логарифма:

3. Логарифм числа по равному ему основанию равен 1:

Ответ: 5.

Пример 3

Вычислите

1. Воспользуемся свойством степеней:

2. Используем основное логарифмическое тождество:

Ответ: 75.

Пример 4

Вычислите

1. Воспользуемся формулой для суммы логарифмов:

2. Представим 1000 = 10³ и вынесем 3 за знак логарифма:

3. Воспользуемся тем, что .

Ответ: 3.

Пример 5

Вычислить .

1. Воспользуемся формулой для частного логарифмов:

2. Преобразуем основание логарифма 36 = 6² и вынесем, «перевернув», вынесем показатель:

3. Воспользуемся тем, что

Ответ: 0,5.

Пример 6

Вычислите .

1. Применим в числителе формулу для сумы логарифмов:

2. В знаменателе внесем 2 под знак логарифма:

3. Воспользуемся формулой суммы логарифмов для знаменателя:

4. Перейдем от частного к логарифму с основанием 12:

5. Представим144 = 12², вынесем степень за знак логарифма и воспользуемся соотношением

Ответ: 2.

Кроме выражений с числами, на экзамене могут встретиться выражения, содержащие переменные. В этом случае можно использовать те же формулы и правила.

Пример 7

Вычислите

1. Преобразуем отдельно подлогарифмическое выражение:

2. Логарифм 1 по любому основанию равен 0:

Ответ: 0.