а) Проведем прямую CF//BD, тогда BCFD – параллелограмм и BC = DF, CF = BD.

В треугольнике ACF AC = 8, CF = 6, AF = AD + DF = 10.

Если диагонали перпендикулярны, то треугольник ACF – прямоугольный и выполняется теорема Пифагора:

Значит, угол между диагоналями равен 90⁰.

б) , где h – длинна высоты.

С другой стороны

Тогда

а) Поскольку ABCD — равнобедренная трапеция, то

Тогда . Следовательно,

б)

Треугольник AMC прямоугольный. В нем по доказанному в пункте а) и по условию.

По теореме Пифагора , откуда .

Треугольники BCO и MOD равны по катету и острому углу (BC=MD по доказанному в пункте а) , углы CBO и ADO равны как накрест лежащие). Тогда BO = OD и СO = OM как соответственные элементы равных треугольников. Значит, СO - искомое расстояние.

.

а) Обозначим . Треугольники AKH, CMH, ABH и BKH – прямоугольные. Тогда . Аналогично . В четырехугольнике BKHM , значит, вокруг этого четырехугольника можно описать окружность. Углы как опирающиеся на одну и ту же хорду.

В треугольниках ABC и MKB - совпадающий. Значит, они подобны по признаку подобия по 2 углам.

б) Обозначим k – коэффициент подобия треугольников ABC и MKB (k<1).

Площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных отношений, поэтому .

Площадь фигуры равна сумме площадей ее частей, поэтому .

Определим коэффициент подобия. Из треугольника BKH по определению . Из треугольника ABC по теореме синусов , где R – радиус описанной окружности.

В то же время, KB и BH – стороны, лежащие напротив одинаковых углов, в подобных треугольниках ABC и MKB. Тогда .

Подставим найденное значение в отношение площадей:

.

В ответе необходимо указать значение, умноженное на 30. То есть 2.