Первый способ

Прямая ВС параллельна плоскости SАD, в которой лежит прямая SА. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SА и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости SАD или от любой точке прямой ВС до плоскости SAD.

Возьмем точку В.

Найдем искомое расстояние методом двойного выражения объемов.

, где h – искомое расстояние.

Найдем высоту пирамиды:

Рассмотрим треугольник , как диагональ квадрата со стороной 1.

Треугольник SBD – прямоугольный, так как .

Высота в треугольнике SBD – высота пирамиды.

Значит,

Подставим все данные, чтобы найди искомое расстояние:

Второй способ

Прямая ВС параллельна плоскости SАD, в которой лежит прямая SА. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SА и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости SАD.

Пусть Е и F соответственно середины рёбер АD и ВС. Тогда искомым перпендикуляром будет высота FН треугольника SEF. В треугольнике SEF имеем:

EF=1, SE=SF= , высота SO равна . Для площади S треугольника SEF имеют место равенства , из которых получаем

Первый способ

Прямая ВС₁ параллельна плоскости B₁AD₁ при признаку параллельности прямой и плоскости.

Значит, расстояние между исходными прямыми равно расстоянию от любой точки прямой ВС₁ до плоскости B₁AD₁. Возьмем точку В.

Найдем это расстояние методом двойного выражения площадей.

, h – искомое расстояние.

Второй способ

Плоскости AB₁D₁ и BDC₁, в которых лежат данные прямые, параллельны. Следовательно, расстояние между этими скрещивающимися прямыми равно расстоянию между соответствующими плоскостями.

Диагональ СА₁ куба перпендикулярна этим плоскостям (А₁Е высота в пирамиде А₁AB₁D₁, аналогично с BDC₁) . Обозначим Е и F как точки пересечения диагонали СА₁ соответственно с плоскостями AB₁D₁ и BDC₁. Длина отрезка EF будет равна расстоянию между прямыми АВ₁ и ВС₁. Пусть О и O₁ соответственно центры граней ABCD и A₁B₁C₁D₁ куба. В треугольнике АСЕ отрезок OF параллелен АЕ и проходит через середину АС. Следовательно, OF — средняя линия треугольника АСЕ и, значит, EF = FC. Аналогично доказывается, что O₁Е — средняя линия треугольника A₁C₁F и, значит, А₁Е = EF. Таким образом, EF составляет одну треть диагонали CA₁, т. е. EF= .

Дополнительное построение: SO – высота пирамиды.

Пусть Е - основание перпендикуляра, опущенного из точки О на ребро SA.

(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)

Значит, ВО перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости ASO .

Таким образом, ОЕ - общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым ВD и SA .

Найдем его длину как высоту ОЕ, опущенную на гипотенузу AS треугольника AOS.

AS = 1

Найдем SO по теореме Пифагора:

а) Точка К – середина ВС, значит, SK и АК – медианы в треугольниках SBC и АВС.

Эти треугольники по условию равнобедренные, значит, что SK и АВС – высоты в треугольниках SBC и АВС.

Что и требовалось доказать.

б) Дополнительное построение: пусть КН перпендикулярно прямой AS.

Тогда мы имеем:

КН – высота в равнобедренном треугольнике AKS. Найдем боковые стороны в этом треугольнике.

Тогда найдем SK по теореме Пифагора:

SK=8

SH=AH=6

SK=8

Тогда найдем КН по теореме Пифагора:

а) Сечение призмы — квадрат AA₁ML. Тогда диагонали перпендикулярны: .

Что и требовалось доказать.

б) Из точки О опустим перпендикуляр ОР на прямую А₁В.

(по построению) и (так как АМ перпендикулярно плоскости А₁ВС), следовательно, ОР – общий перпендикуляр для прямых АМ и А₁В.

Сторона квадрата AA₁ML равна высоте треугольника ABC, то есть:

Диагональ квадрата AA₁ML . В равнобедренном треугольнике A₁BC основание , боковая сторона . Отсюда, используя подобие треугольников A₁OP и A₁BL найдем

а) 1) В основании четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Точки M и N является серединами противоположных сторон квадрата, значит, они перпендикулярны сторонам АВ и CD и параллельны AD и ВС.

Тогда:

2) Точка Т лежит на SM, потому что по-нашему с вами построению проведем NT перпендикулярно SM, тогда:

3) Рассмотрим треугольник SNM и найдем длину каждой стороны.

SN равно SM как апофемы в правильной пирамиде.

Имеем, что треугольник SNM – равносторонний, значит, каждая его высота является медианой, а NT – высота.

Что и требовалось доказать.

б) 1) Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного из точки Т на прямую SC.

Прямая NT перпендикулярна прямой ТЕ, так как NT – высота пирамиды NCSD.

ТЕ – искомое расстояние.

2) Треугольники SET и SMC подобны по двум углам (один угол общий, второй угол прямой), следовательно:

SC по теореме Пифагора будет равно: