1) Прямая D₁E пересекает прямую АD в точке К. Плоскости АВС и ВЕD₁ пересекаются по прямой КВ.

Из точки Е опустим перпендикуляр ЕН на прямую КВ, тогда отрезок АН (проекция ЕН) перпендикулярен прямой КВ по теореме о трех перпендикулярах. Угол АНЕ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями АВС и ВЕD₁.

2) Поскольку АЕ:ЕА₁ = 2:1, получаем:

Из подобия по двум углам треугольников A₁D₁E и AKE находим:

В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A:

AB =1; AK=2;

,

откуда высота

Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем:

Значит, сам угол – это

Расстояние между прямыми AС и B₁D₁ равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Значит, высота призмы равна .

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.

Поэтому искомый угол равен углу между ребром DD₁ и прямой BD₁.

Рассмотрим треугольник BDD₁. Его катеты равны DD₁=, по теореме Пифагора.

Значит, .

Проведем перпендикуляр CQ к MK, Q - середина MK. Из точки Q опустим перпендикуляр QP на плоскость основания. Точка P лежит на медиане CL треугольника ABC. Прямая MK параллельна прямой пересечения плоскостей CMK и ABC, QP MK и CQMK. Следовательно, QCP - линейный угол искомого угла двугранного угла. Найдем QP.

Значит:

Проведём из точки B перпендикуляр BQ к MK, Q - середина MK. Точка Q является серединой высоты SO. Прямая MK параллельна прямой пересечения плоскостей, QB MK, OB MK. Следовательно, QBO - линейный угол искомого угла. Найдём QO.

Значит,

Пусть DE — линия пересечения данных плоскостей, F — середина отрезка DE, G — середина отрезка A₁С₁. Угол GFB₁ является линейным утлом между данными плоскостями. В треугольнике GFB₁ имеем:

GB₁= , как высота в равностороннем треугольнике.

В треугольнике АВ₁С DE – средняя линия, значит,

Тогда FB₁найдем по теореме Пифагора:

Аналогично найдем FG.

FG = FB₁ = .

По теореме косинусов находим

1) Дополнительное построение.

Прямая D₁E пересекает прямую AD в точке K.

Плоскости ABC и BED₁ пересекаются по прямой KB.

Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB.

Угол AHE является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED₁.

2) Поскольку AE : EA₁ = 2 : 3, получаем:

Из подобия треугольников A₁D₁E и AKE находим:

В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A:

Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем:

Пусть L - точка пересечения прямых А₁К и АВ. Тогда плоскость А₁КС пересекает плоскость АВС по прямой CL.

Треугольники А₁В₁К и KBL равны по катету и острому углу. Следовательно, равны и другие катеты: А₁В₁=BL.

Рассмотрим треугольник ACL. В нём ВА = ВС = BL . Угол CBL равен 120°, стало быть, BCL=30°. Кроме того, ВСА=60°. Поэтому

Итак, LCAC. Но прямая АС служит проекцией прямой А₁С на плоскость АВС. Пo теореме о трёх перпендикулярах заключаем тогда, что LCA₁C.

Таким образом, угол А₁СА — линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями А₁КС и АВС. Это и есть искомый угол. Из равнобедренного прямоугольного треугольника A_lAC мы видим, что он равен 45°.

а)

1) , так как СМ – медиана и высота в равностороннем треугольнике.

FM лежит в плоскости SCM.

Продлим прямую MF до пересечения с прямой SC.

Пусть .

SM и – медианы равных равносторонних треугольников со стороной

2) Точка О – центр основания, значит,

Найдем по теореме Пифагора из треугольника SMO:

3) По условию, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды. Таким образом,

4) Треугольник FMO – прямоугольный. Найдем FM по теореме Пифагора:

Докажем, что . Если эти углы будут равны, то тогда KM – биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, а, значит, будет являться высотой .

Если косинусы углов и будут равны, то будут равны и сами углы.

Косинус угла найдем по теореме косинусов:

Что и требовалось доказать.

б)

1) По условию и доказанному в пункте а) мы имеем:

Таким бразом, .

2) По доказанному в пункте а) мы имеем: