1) Дополнительное построение: пусть точка L – середина ВМ. Тогда KL – средняя линия треугольника ВDМ; значит, KL||DM, и потому искомый угол есть .

Величину мы вычислим по теореме косинусов из треугольника . Предварительно найдём стороны этого треугольника.

Из треугольника АВD находим АК как высоту в равностороннем треугольнике:

, где а – ребро тетраэдра.

Кроме того, .

Остаётся найти сторону АL. Это можно сделать из треугольника АВL, в котором АВ=а, ВL= , . По теореме косинусов получим:

Теперь возвращаемся к треугольнику АКL. По теореме косинусов:

Подставляем найденные длины сторон:

Тогда искомый угол – это .

По теореме Пифагора из треугольника BCD получим , откуда BD = 5.

Тогда

По теореме Пифагора из треугольника получим , откуда .

Из прямоугольного треугольника получим:

Значит, .

Угол между прямой и плоскостью не изменится при параллельном сдвиге прямой. Поскольку СС1 параллельна АА1, искомый угол есть угол между прямой СС1 и плоскостью АВС1.

Пусть М - середина АВ, пусть АВ=а. Проведём высоту СН в треугольнике СС1М. Покажем, что СН - перпендикуляр к плоскости АВС1. Для этого нужно предъявить две пересекающиеся прямые этой плоскости, перпендикулярные СН.

Первая прямая очевидна - это С1М. В самом доле, по построению.

Вторая прямая — это АВ. Действительно, проекцией наклонной СН на плоскость AВC служит прямая СМ; при этом . Из теоремы о трёх перпендикулярах следует тогда, что

Итак, .

Стало быть, угол между СС1 и АВС1 есть .

Имеем:

а) В треугольнике имеем:

,

поэтому треугольник прямоугольный с гипотенузой и прямым углом Аналогично, из равенства

получаем, что . Так как прямая перпендикулярна прямым и прямая перпендикулярна плоскости по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

б) Дополнительное построение: на прямой отметим такую точку E, что BDCE — параллелограмм, тогда . Найдём угол SCE. По теореме Пифагора:

Искомый угол равен .

а) Проведем эту плоскость. Так как, плоскость проходит через середины ребер К и N , на отрезке KN будет лежать центр правильного шестиугольника О. Значит, отрезок SO будет являться высотой правильной шестиугольной пирамиды. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей плоскость SKN будет перпендикулярна плоскости основания.

б) Так как пирамида правильная, то KN будет параллельно АС. Значит, искомый угол – угол между KN и SAF. Точнее возьмем отрезок ОК.

ОК перпендикулярно FA, так как в основании правильный шестиугольник.

SK перпендикулярно AF, так как треугольник AFS равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника о том, что медиана является высотой).

Значит, AF перпендикулярно плоскости KSO, а значит, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Проведем отрезок ОН перпендикулярно SK.

ОН перпендикулярно SK. AF перпендикулярно ОН, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости ОН перпендикулярно плоскости ASF, то есть, точка Н является проекцией точки О на плоскость SAF.

Точка К проецируется в саму себя. Значит, угол между плоскостью ASF и прямой ОК – угол ОКН.

Найдем SK. Треугольник SAF – равнобедренный, значит, . Тогда SK по теореме Пифагора будет равно: .

ОК – высота в равностороннем треугольнике AFO, значит, .

Тогда найдем косинус угла OKS по определению тригонометрической функции:

а) По определению, высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на противоположную плоскость.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Рассмотрим треугольник MAB:

, тогда

Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, угол MAB – прямой.

Рассмотрим треугольник MAD:

Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, угол MAD – прямой.

Прямая MA перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и AD, лежащим в плоскости основания, значит, перпендикулярна и всей этой плоскости.

Тогда MA – высота пирамиды, что и требовалось доказать.

б) Из того факта, что MA- высота, следует, что эта прямая перпендикулярна плоскости основания и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе прямой BC.

Также BC перпендикулярна AB, так как в основании пирамиды лежит прямоугольник.

Тогда прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и MA, лежащим в плоскости AMB, значит, перпендикулярна и всей этой плоскости.

Тогда MC – наклонная, BC – перпендикуляр, а MB – проекция.

Угол между прямой MC и плоскостью AMB – это угол между прямой MC и её проекцией MB на эту плоскость, откуда угол CMB – искомый.

Рассмотрим треугольник CMB.

Угол CBM – прямой, так как CB перпендикулярно плоскости AMB.

Откуда угол CMB составляет 30˚.